Lecture5 Binomial Queue(二项队列)¶
Binomial Queue's motivation¶
我们前面学习过左倾堆和斜堆两种数据结构，它们插入操作的平均时间复杂度为 \(O(\log n)\)，这似乎是一个不错的效率，但事实上，如果我们从空堆开始插入 \(n\) 个元素，其总时间是 \(O(n)\)，从而得到平均时间复杂度为 \(O(1)\)，似乎 \(O(\log n)\) 的插入操作还不够高效，那么是否有一种数据结构能够实现更快的插入（摊销意义上）呢？这就要引出我们这节课要学的Binomial Queue（二项队列）
Tip
二项队列引入的时候就强调了说，我们希望插入的时间复杂度能够更好，强于左倾堆和斜堆的 \(O(\log n)\)，二项队列的插入的时间复杂度是 \(O(1)\) 的
Binomial Queue Definition¶
二项队列不是单一的堆有序树（比如像 BST、红黑树、Splay Tree 那样只有一个根节点），而是由多个有序堆树的集合（我们称之为森林），其中每个树都是二项树（binomial tree），并且整个队列满足最小堆性质（堆有序）。
二项树满足如下递归定义：
- 高度为 \(0\) 的二项树是一棵单节点的树
- 高度为 \(k\) 的二项树 \(B_k\) 由两棵高度为 \(k-1\) 的二项树 \(B_{k-1}\) 构成，且其中一棵树（根节点较大的 \(B_{k-1}\)）附着在另一棵树（根节点较小的 \(B_{k-1}\)）的根节点上
一些二项树的例子如下图：
观察上图我们可以得到一些关键的规律，以及为什么叫“二项”：
- \(B_k\) 的根节点有 \(k\) 个子节点，并且分别对应 \(B_0,B_1,\cdots,B_{k-1}\)
- \(B_k\) 一共有 \(2^k\) 个节点
- 深度为 \(d\) 的一层上有 \(C_k^d\) 个节点
需要指出的是，任意大小的优先队列都可以用一个二项队列唯一表示（A priority queue of any size can be uniquely represented by a collection of binomial trees.），前面我们提到，二项队列可以表示为二项树的集合，我们可以利用二进制数来表示二项队列：第 \(k-1\) 位数字上的数如果为 \(1\)，代表 \(B_k\) 这个二项树存在；如果为 \(0\)，代表 \(B_k\) 这个二项树不存在。
比如对于 \(13\) 个节点的二项堆，我们将其转化为二进制，为 \(1101_2\)，也即代表 \(B_0,B_2,B_3\) 存在，所以二项队列如下图所示：
Binomial Queue Operation¶
FindMin¶
首先因为每个二项树的最小节点都在根节点中，我们只需要去比较每个二项树的根节点即可，而二项队列至多有 \(\lceil\log N\rceil\) 个根节点（这是因为十进制数转化为二进制数，即二进制数的位数），所以 FindMin 的时间复杂度为 \(O(\log N)\)。
Tip
如果我们选择用字段记录最小值并随时更新的话，也能将时间复杂度提升至 \(O(1)\)
Merge¶
我们首先将二项队列内的二项树按其高度排列，二项队列的合并类似于二进制的加法，我们按高度合并树，从较低高度的二项树开始，如果同高度有多个树，就合并成更高的树（根节点较大的树附加在根节点小的树上），并处理进位。Merge 操作的时间复杂度为 \(O(\log N)\)
Tip
如果遇到三个规模相同的二项树，任意选择其中两个进行合并即可
Insert¶
插入可以看做是一种特殊的合并操作，如果最小的，不存在的二项树为 \(B_i\)（相当于对应二进制上为 \(0\)，到这里 merge 一定会停止），那么插入操作的时间复杂度为 \(\text{Const}\cdot(i+1)\)；后面我们在均摊分析的部分会讲到，对一个空的二项队列执行 \(N\) 次插入操作，最坏情况下的时间复杂度为 \(O(N)\)，平均时间为 \(O(1)\)
DeleteMin¶
- 首先
FindMin找到最小值所在的树 \(B_k\)，其时间复杂度为 \(O(\log N)\) - 从二项队列 \(H\) 中移除 \(B_k\)，得到新的二项队列 \(H'\)，其时间复杂度为 \(O(1)\)
- 将 \(B_k\) 的根节点从 \(B_k\) 中移除，留下二项树 \(B_0,B_1,\cdots,B_{k-1}\)，我们将该队列记为 \(H''\)，其时间复杂度为 \(O(\log N)\)
- 最后执行合并，合并 \(H'\) 和 \(H''\)，也即
Merge(H',H'')，其时间复杂度为 \(O(\log N)\)
故 DeleteMin 的总的时间复杂度也为 \(O(\log N)\)
例子可以参考 PPT 或者 NoughtQ 前辈的笔记
Implementation¶
在实现二项队列的时候，我们会用一个数组来存储二项树，将这个数组作为二项队列，其中 DeleteMin 操作我们可以将所有子树的根节点存在数组中，并且使用 Leftchild 和 nextsibling 分别维护子树和兄弟树；Merge 操作需要将孩子按大小排序，我们按阶数降序对子树排序，因为这样当我们合并两棵二项树的时候，其中一颗就可以直接作为另一棵树的最左子树，而无需遍历所有的子树。
Tip
具体的代码实现可以参考 PPT
Complexity Analysis¶
通过 \(N\) 次连续插入来创建一个有 \(N\) 个元素的二项堆所需要的时间为 \(O(N)\)，下面我们分别通过聚合法和势能函数法进行讲解
聚合分析法¶
我们记 steps 是每次插入一个新节点的基本操作，其成本为1；记 links 是合并两个等高树成更高树的次数，每次 links 的成本为 \(O(1)\)
则我们可以得到如下表格
| 插入序号 | Steps | Links | 总成本 (\(C_i\)) | 森林结构 | 树数 (\(Φ_i\)) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | B0 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 2 | B1 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | B1 B0 | 2 |
| 4 | 1 | 2 | 3 | B2 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | B2 B0 | 2 |
| 6 | 1 | 1 | 2 | B2 B1 | 2 |
| 7 | 1 | 0 | 1 | B2 B1 B0 | 3 |
| 8 | 1 | 3 | 4 | B3 | 1 |
能够从上表中看出，steps 次数始终为1，links 次数不确定，所以我们主要讨论的就是 links 的分布规律。
二项队列的插入其实等价于从 \(0\) 到 \(N-1\) 的二进制计数，每次加1都有可能触发进位，links 就等于最低连续 \(1\) 的位数，且 links=k 发生在二进制最低 \(k\) 位为1，第 \(k+1\) 位为 \(0\) 的时刻，所以每 \(2^{k+1}\) 次计数，links=k 就出现1次，故在 \(N\) 次插入中，links=k 的出现次数近似为 \(\frac{N}{2^{k+1}}\)，所以有总的 links 为
$$
\sum_{k=0}^{\log N} k\cdot \frac{N}{2^{k+1}}\approx O(N)
$$
而 steps 也是 \(O(N)\)的，所以总成本也为 \(O(N)\)
势能函数法¶
我们记 \(C_i\) 为第 \(i\) 次插入的实际成本，包括创建新节点的成本 \(1\) 和链接次数 \(l_i\)，也即有 \(C_i\approx 1+l_i\)；并记 \(\Phi_i\) 为第 \(i\) 次插入后的势能函数，势能函数我们定义为二项队列中的二项树数量，容易想到初始状态为空的队列，且 \(\Phi_0=0\)，这里有一个很关键的等式是： $$ C_i+(\Phi_i-\Phi_{i-1})=2, \forall i=1,2,\cdots,N $$ 下面我们说明等式的正确性：
- 无链接情况：\(C_i=1,\Delta\Phi_i=1\)
- 有 \(k\) 次链接的情况，\(C_i=1+k\)（创建+链接），\(\Delta(\Phi_i)=1-k\)（先创建了一棵二项树，链接 \(k\) 次又减少了 \(k\) 个二项树）
所以有摊还成本满足 $$ \sum_{i=1}^N C_i+\Phi_N=2N $$ 故 $$ \sum_{i=1}^NC_i=2N-\Phi_N\leq 2N=O(N) $$